삼각형 2:1 내분점 넓이 트릭

삼각형 ABC에서 $\overline{AC}, \overline{BC}$를 $2:1$로 내분하는 점 $L, H$가 있다.

$\overline{AH}$와 $\overline{BL}$의 교점을 $M$이라고 하면, $\Delta AMB$의 넓이는 항상 $\Delta ABC$의 넓이의 $\frac{1}{2}$이다.

 

증명

$\overline{AB} // \overline{LH}$ 이므로 $\Delta ABM$과 $\Delta HLM$은 $3:1$ 닮음이다.

$\Delta ABC$의 넓이를 $S$라고 한다면, $\Delta ABH$의 넓이는 $2:1$ 내분에 의해 $\frac{2S}{3}$ 이고,

$\Delta ABM$의 넓이는 $3:1$ 내분에 의해 $\frac{6}{12} = \frac{S}{2}$ 이다.

 

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$ \angle AMB$가 직각이라면 $\overline{AM}$과 $\overline{BM}$의 곱은 $\Delta ABC$의 넓이와 같다.