일차 선형 점화식에서의 일반항과 합 유도

우리가 평소에 보는 대부분의 수열은 계차수열이거나, 일차 선형 점화식으로 유도된다.

 

그 중 일차 선형 점화식은 $a_{n+1} = r a_n + d \quad (r \neq 1, d \neq 0)$ 꼴을 의미한다. 

 

일반항을 유도하기 위한 아이디어는 $a_{n+1} + k = r(a_n + k)$를 만족하는 k를 찾는 것이다. 즉, 수열 $a$를 $k$만큼 평행이동 시켜서 새로운 등비 수열 $a_n + k$ 를 만드는 것이다.

 

준 식을 전개시켜 원래 식과 비교하면 다음과 같다.

 

$a_{n+1} = r a_n + rk - k \\
a_{n+1} = r a_n + k(r - 1)$

 

따라서 $k$에 대해 정리하면

 

$k = \frac{d}{r - 1}$

 

이제 새로운 등비 수열 $a_n + k$에 대해 등비수열의 일반항 공식 $a_n + k = (a_1 + k) r^{n-1}$ 가 성립하고, $a_n$에 대해 정리하면

 

$a_n = (a_1 + k) r^{n-1} - k$ 라는 결과를 얻는다.

 

또한 $a_n + k$가 등비 수열 이므로

 

$\frac{a_n + k}{a_1 + k} = r^{n-1}$

 

라는 이쁜 공식을 얻을 수 있다.

 

이어서 합도 유도해보자. $n$번째 항까지의 합을 $S_n$ 이라고 하면

 

$S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1}^{n} \left\{ (a_1 + k) r^{i-1} - k \right\}$ 이다.

 

시그마 안의 식을 $(a_1 + k) r^{i-1}$과 $k$로 분리하면, $(a_1 + k) r^{i-1}$에서 $a_1 + k$은 상수이므로 $r^{i-1}$에 대해 등비수열의 합 공식이 성립한다. 이렇게 식을 정리하면

 

$S_n = (a_1 + k) \left( \frac{r^n - 1}{r - 1} \right) - nk$ 라는 결과를 얻는다.

 

이 또한 식을 이쁘게 정리하면

 

$\frac{S_n + nk}{a_1 + k} = \frac{r^n - 1}{r - 1}$

 

라는 공식을 얻을 수 있다.